Einem breiten Publikum wurde Klaußner allerdings erst durch seine Rollen in zahlreichen Fernsehproduktionen und Kinofilmen bekannt. Nach ersten kleineren TV-Rollen in den Achtzigerjahren ("Ziemlich weit weg", 1983; "Der Beginn aller Schrecken ist Liebe", 1984; "Nr. 8 - Aus Berichten der Wach- und Patrouillendienste", 1986) spielte er seine erste Hauptrolle in dem Abenteuerfilm "Das Rätsel der Sandbank" (1987) an der Seite von Peter Sattmann. Es folgte ein Auftritt in der Krimiserie "Peter Strohm" und in Heinrich Breloers Dokudrama "Die Staatskanzlei - Barschels Fall" (1989) verkörperte er den einstigen Ministerpräsidenten von Schleswig-Holstein, Björn Engholm. Breloer erkannte sofort das schauspielerische Potential Klaußners und verpflichtete ihn zwei Jahre soäter erneut für "Kollege Otto - Die Co-op-Affäre" und 1995 wieder für die Rolle des Björn Engholm in "Einmal Macht und zurück - Die Karriere des Björn Engholm".
Klaußner, der besonders in ruhigen Rollen mit melancholischen Anstrich überzeugt, zeigte allerdings als prügelnder Maurerpolier und Vater in Wolfgang Beckers Drama "Kinderspiele" (1991), dass er durchaus auch cholerische und unberechenbare Charaktere auszufüllen vermag. 1993 startete Klaußner seine langjährige Zusammenarbeit mit Evelyn Hamann. Als Kriminaldirektor Dr. Siegbert Heimeran spielte er bis 2001 in insgesamt 32 Folgen der Krimiserie um die Polizeisekretärin Adelheid Möbius, die gern die Fälle ihrer Vorgesetzten löst. Einen Hauptmann verkörperte er dagegen in seiner ersten Auslandsproduktion, dem französischen Kriegsdrama "Das Licht erloschener Sterne" (1994), bevor er mit Barbara Auer, Ulrich Matthes, Dagmar Manzel in Hermine Huntgeburths Ehekomödie "Ein falscher Schritt" (1995) zu sehen war. Nach einer Nebenrolle in Joseph Vilsmaiers Drama "Und keiner weint mir nach" (1996) gehörte Klaußner zum Staraufgebot von Helmut Dietls extrem überschätzter "Rossini - Oder die mörderische Frage, wer mit wem schlief" (1996).
Den Ehemann von Suzanne von Borsody gab er 1998 in Urs Odermatts Beziehungsdrama "Zerrissene Herzen", im gleichen Jahr drehte er an der Seite von Annett Renneberg das Drama "Das Böse" und man sah ihn in Hans-Christian Schmids gefeierter Regiearbeit "23". Eine internationale Koproduktion war "Der blonde Affe" (1998) mit Götz Otto, während das Gesellschaftsdrama "Ganz unten, ganz oben" (1999) mit Marianne Sägebrecht eine der vielen hervorragenden Regiearbeiten Matti Geschonnecks ist. Ein riesiger Erfolg war auch Hans-Christian Schmids Jugendkomödie "Crazy" (2000), in der Klaußner den Vater von Benjamin alias Robert Stadlober" gab.
Und der nächste Paukenschlag folgte auf dem Fuße: Wieder war es Wolfgang Becker, der Klaußner verpflichete: für seinen international vielfach ausgezeichneten Kassenschlager "Good Bye, Lenin!", in dem der Charakterdarsteller den Vater von Daniel Brühl verkörperte. Und mit Brühl stand Klaußner auch für Hans Weingartners Drama "Die fetten Jahre sind vorbei", dieses Mal allerdings nicht als Vater, sondern als Entführunsopfer. Für diese Rolle wurde Klaußner 2005 mit dem Deutschen Filmpreis als bester Nebendarsteller ausgezeichnet. Den Goldenen Leoparden als bester Darsteller der Filmfestspiele von Locarno folgte 2006 für seine Rolle als Botschaftsattacheé in "Der Mann von der Botschaft".
Weitere Filme mit Burkhart Klaußner: "Im Kreis der Lieben" (1991), "Schattenboxer" (1992), "Die Denunziantin" (1993), "Die indische Ärztin", "Alles außer Mord - Blackout" (beide 1994), "Das Superweib" (1996), "Tatort - Ausgespielt" (1997), "Urlaub auf Leben und Tod - Eine Familie hält zusammen" (1999), "Durch dick und dünn" (2001), "Tatort - Schatten", "Mit dem Rücken zur Wand" (beide 2002), "K3 - Kripo Hamburg - Auf dünnem Eis", "Ein Goldfisch unter Haien", "Carola Stern - Doppelleben" (alle 2003), "Solo für Schwarz - Tod im See", "Requiem", "Wilsberg - Falsches Spiel" (alle 2005), "Solo für Schwarz - Der Tod kommt zurück", "Tatort - Aus der Traum", "Die Aufschneider", "Der Novembermann" (alle 2006), "Polizeiruf 110 - Taubers Angst", "Yella", "An die Grenze" (alle 2007), "Alter und Schönheit", "Der Vorleser" (alle 2008), "Das weiße Band", "Das letzte Schweigen", "Aghet - ein Völkermord" (Sprecherin, alle 2009), "Das Leben ist zu lang", "Goethe!", "Der ganz große Traum" (alle 2010), "Polizeiruf 110 - Die verlorene Tochter", "In den besten Jahren" (beide 2011), "Das Adlon - Eine Familiensaga", "Nachtzug nach Lissabon" (beide 2012), "George", "Zwischen Welten" (beide 2013).